Question

已知椭圆C：的离心率为，B，F分别是它的上顶点和右焦点．椭圆C上的点到点F的最短距离为2．圆M是过点B，F的所有圆中面积最小的圆．
（1）求椭圆C和圆M的方程；
（2）从圆外一点P引圆M的切线PQ，切点为Q，且有|PQ|=|PO|，O是坐标原点，求|PF|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用条件得到关于a，c的方程，解出a，c的值即可求出椭圆C的方程；再利用过B，F的所有圆中，以BF为直径的圆面积最小，求出对应圆M的方程；
（2）先利用条件求得点P在直线上，再把|PF|的最小值转化为点F到直线的距离即可．
解答：解：（1）依题意有：（2分）
解得a=4，c=2．得b²=12．
所以椭圆C的方程为：．（4分）
B（0，2），F（0，2），过B，F的所有圆中，
以BF为直径的圆面积最小，
所以圆M的方程为．（7分）
（2）设P（x₁，y₁），
则|PQ|²=|PM|²-R²=，|PQ|²=x₁²+y₁²．
因为|PQ|=|PO|，得．（10分）
所以点P在直线上，
故|PF|的最小值即为点F到直线的距离（12分）
故|PF|的最小值=．（14分）
点评：本题是对圆和椭圆的综合考查．在做这一类型题时，一定要认真读题，理解题意．