Question

【题目】已知抛物线过点，是抛物线上异于点的不同两点，且以线段为直径的圆恒过点.

（I）当点与坐标原点重合时，求直线的方程；

（II）求证：直线恒过定点，并求出这个定点的坐标.

Answer 1

【答案】（I）； （II）答案见解析.

【解析】

(Ⅰ)首先求得抛物线的方程，然后求得AO的斜率，最后利用直线垂直的充分必要条件可得直线的方程；

(Ⅱ)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理得到系数之间的关系，然后结合直线方程的形式即可证得直线恒过定点.

（I）因为在抛物线上，所以，

所以，抛物线.

当点与点重合时，易知，

因为以线段为直径的圆恒过点，所以.所以.

所以,即直线的方程为.

（II）显然直线与轴不平行，设直线方程为 .

，消去得.

设，因为直线与抛物线交于两点，

所以 ①

因为以线段为直径的圆恒过点，所以.

因为是抛物线上异于的不同两点,所以,.

,同理得.

所以,即,.

将 ①代入得， ，即 .

代入直线方程得.

所以直线恒过定点 .