题目内容

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA= $数学公式$ acosB
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=2，c=1．D为AC中点，求 BD的长．

解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA= $\text{[math]}$ acosB，由正弦定理可得 sinBsinA= $\text{[math]}$ sinAcosB，故有tanB= $\text{[math]}$ ，∴B= $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）若a=2，c=1．D为AC中点，由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=4+1-2×2×1× $\text{[math]}$ =3，
∴b²+c²=a²，∴A= $\text{[math]}$ ．
∵AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB= $\text{[math]}$ ，由此求得 B 的值．
（Ⅱ）由余弦定理可得 b²=3，可得b的值，再由a=2，c=1可得 A= $\text{[math]}$ ，求得AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此求得 BD= $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．