Question

判断下列各函数的奇偶性：
（1）f(x)=(x-1)

1+x 1-x

；
（2）f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

；
（3）f（x）=

x2+x    (x＜0) -x2+x    (x＞0)

．

Answer 1

分析：主要考查函数的奇偶性判断的步骤：①求定义域②定义域是否关于原点对称③化简解析式后判断f（-x）与f（x）的关系④得出结论

解答：解：（1）由

1+x

1-x

≥0，得定义域为[-1，1），
关于原点不对称，∴f（x）为非奇非偶函数．
（2）由

1-x2＞0 |x2-2|-2≠0

得定义域为（-1，0）∪（0，1），
∴f(x)=

lg(1-x2)

-(x2-2)-2

=-

lg(1-x2)

x2

，
∵f(-x)=-

lg[1-(-x)2]

(-x)2

=-

lg(1-x2)

x2

=f（x）
∴f（x）为偶函数
（3）当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=-（-x）²-x=-（x²+x）=-f（x），
当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=（-x）²-x=-（-x²+x）=-f（x），
综上所述，对任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．

点评：对于分段函数奇偶性的判断，需特别注意x与-x所满足的对应关系，即判断x＞0时f（-x）与f（x）的关系，也要判断x＜0时f（-x）与f（x）的关系．