Question

如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S。

   （I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；

   （II）求面积S的最大值。

Answer 1

解：（I）依题意，以AB为中点O为原点建立直角坐标系O―xy（如图），

则点C的横坐标为x.

点C的纵坐标y满足方程

解得

其定义域为 

   （II）记

则

令                                                                   

因为当，

所以的最大值。                                                         

因此，当，

即梯形面积S的最大值为