Question

如图，有一块半椭圆形的钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，则梯形ABCD的面积S的最大值为

 

．

Answer 1

分析：由题意可得椭圆的方程，求出其参数方程，然后由题意得出梯形的高与上底面的长度公式求出面积即可．

解答：解：以AB所在直线为 X轴，其垂直平分线为Y轴建系，则椭圆的参数方程为方程为x=rcosθ，y=2rsinθ，在图形中取AB中点O，连接OC，令角COB为θ
则下底边长为2r，上底边长为2rcosθ，高为2rsinθ，
故梯形的面积为S=

2r+2rcosθ

2

×2rsinθ=2r²（sinθ+sinθcosθ）
S′=2r²（2cos²θ+cosθ-1），令S′=0，得cosθ=

1

2

，故sinθ=

3

2

即当cosθ=

1

2

时，面积最大最大值为

3 3

2

r2
故答案为

3 3

2

r2

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，根据图形及题设本题选择了用椭圆的参数方程表示变量，给建立函数模型带来了方便，解题时要注意综合利用知识，尤其是在函数的应用题中，建立恰当的函数模型是求解的关键．