题目内容

已知向量
a
=(cosx，sinx)，
b
=(cosx，
3
cosx)，f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值．
分析：（1）根据向量的数量积公式和三角恒等变换公式，化简可得f（x）=sin(2x+
π
6
)+
1
2
，再由三角函数的周期公式和单调区间的公式加以计算，可得答案；
（2）当x∈[0，
π
2
]时
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，利用正弦函数的图象与性质，即可算出f（x）的最大值．
解答：解：（1）∵
a
=(cosx，sinx)，
b
=(cosx，
3
cosx)，
∴f(x)=
a
•
b
=cos2x+
3
sinxcosx=
1+cos2x
2
+
3
2
sin2x=(
1
2
cos2x+
3
2
sin2x)+
1
2
=sin(2x+
π
6
)+
1
2
，
∴f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π．
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
 （k∈Z），解得 kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
 （k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-
π
3
 ， kπ+
π
6
] ；
（2）∵0≤x≤
π
2
，可得
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1，
即f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值是f（
π
6
）=
3
2
．
点评：本题考查了向量的数量积公式、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质和函数最值的求法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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