Question

正态总体当μ＝0，σ＝1时的概率密度函数是

f(x)＝，x∈R．

(1)证明f(x)是偶函数；

(2)求f(x)的最大值；

(3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　用定义判定奇偶性，用单调性法求最值，用增减性的定义结合指数函数性质判定增减性． 　　解答　　(1)对于任意的x∈R， 　　f(－x)＝＝＝f(x)． 　　所以f(x)是偶函数． 　　(2)令z＝．当x＝0时，z＝0，ez＝1；当x≠1时，z＞0，ez＞1．由于ez是关于z的增函数，所以当x＝0(即z＝0)时，＝ez取得最小值，所以当x＝0时，f(x)＝取得最大值． 　　(3)任取x1＜0，x2＜0，且x1＜x2，有 　　＞， 　　所以＞， 　　所以＜， 　　即f(x1)＜f(x2)． 　　它表明当x＜0时，f(x)是递增的． 　　同理可得，对于任取的x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，那么有f(x1)＞f(x2)，即x＞0时，f(x)是递减的． 　　评析　　本题主要考查统计的基础知识及函数的性质．