Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=a.

(1)求证:A₁D⊥B₁C₁；1

(2)求点D到平面ACC₁的距离；

(3)判断A₁B与平面ADC₁的位置关系，并证明你的结论.

Answer 1

(1)证法一:∵点D是正△ABC中BC边的中点，

∴AD⊥BC.又A₁A⊥底面ABC，

∴A₁A⊥BC.∴BC⊥平面A₁AD.

∴A₁D⊥BC.∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁.

证法二:连结A₁C，则A₁C=A₁B.

∵点D是等腰△A₁CB的底边BC的中点，

∴A₁D⊥BC.∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁.

 (2)解法一:作DE⊥AC于E，

∵平面ACC₁⊥平面ABC,

∴DE⊥平面ACC₁于E，

即DE的长为点D到平面ACC₁的距离.

在Rt△ADC中，AC=2CD=a,AD=a,

∴所求距离DE=a.

解法二:设点D到平面ACC₁的距离为x.

∵体积,

∴·a²·CC₁=·a·CC₁·x.

∴x=a,即点D到平面ACC₁的距离为a.

(3)直线A₁B∥平面ADC₁.

证法一:如图(1)，连结A₁C交AC₁于F，则F是A₁C的中点.

∵D是BC的中点，

∴DF∥A₁B.

又DF平面ADC₁，A₁B平面ADC₁，

∴A₁B∥平面ADC₁.

证法二:如图(2)，取C₁B₁的中点D₁，则AD∥A₁D₁，C₁D∥D₁B，

∴AD∥平面A₁D₁B，且C₁D∥平面A₁D₁B.

∴平面ADC₁∥平面A₁D₁B.∵A₁B平面A₁D₁B，∴A₁B∥平面ADC₁.