Question

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小及角A的取值范围；
（2）设

.

m

=（sinA，1），

.

n

=（3，cos2A），试求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，由B的度数及三角形ABC为锐角三角形，即可求出A的范围；
（2）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出

m

•

n

，再利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于sinA的二次函数，由A的范围，根据正弦函数的图象与性质得到sinA的范围，利用二次函数的性质即可求出

m

•

n

的最大值．

解答：解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，…（2分）
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，又sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，…（5分）
又B为锐角，∴B=60°，
∵△ABC是锐角三角形，即A为锐角，
∴30°＜A＜90°；…（6分）
（2）∵

.

m

=（sinA，1），

.

n

=（3，cos2A），
∴

m

•

n

=3sinA+cos2A=-2sin²A+3sinA+1=-2（sinA-

3

4

）²+

17

8

，…（10分）
∵30°＜A＜90°，∴

1

2

＜sinA＜1，
∴当sinA=

3

4

时，

m

•

n

的最大值为

17

8

．…（12分）

点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与值域，以及二次函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．