Question

（2013•杨浦区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点分别是F₁（-1，0）、F₂（1，0），且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点F₂的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点Q（x₀，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定椭圆C的半焦距，再利用焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项，求出a的值，从而可得椭圆的标准方程；
（2）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，确定线段MN的垂直平分线方程，可得Q的纵坐标，利用基本不等式，即可求得y₀的取值范围．

解答：解：（1）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得c=1．…（1分）
由题意焦距是椭圆C上一点p到两焦点F₁，F₂距离的等差中项，得4c=2a，∴a=2
∴b²=a²-c²=3．…（4分）
故椭圆C的方程为 

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）解：当MN⊥x轴时，显然y₀=0．…（7分）
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k²）x²-8k² x+4（k²-3）=0．…（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₃，y₃），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

．…（10分）
所以x₃=

4k2

3+4k2

，y₃=k（x₃-1）=

-3k

3+4k2

，
∴线段MN的垂直平分线方程为y+

3k

3+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

3+4k2

）．
在上述方程中令x=0，得y₀=

k

3+4k2

=

1

3 k +4k

．…（12分）
当k＜0时，

3

k

+4k≤-4

3

；当k＞0时，

3

k

+4k≥4

3

．
所以-

3

12

≤y₀＜0，或0＜y₀≤

3

12

．…（13分）
综上，y₀的取值范围是[-

3

12

，

3

12

]．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．