Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长半轴长为2，且点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C上一点，建立方程，及a=2，求出b，即可求椭圆的方程；
（2）分类讨论，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，由数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，解方程求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）由题意知a=2．设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
又点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆上，可得$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
b=1．故所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由（1）知a=2，b=1，所以c=$\sqrt{3}$，椭圆右焦点为（$\sqrt{3}$，0）．
①若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=$\sqrt{3}$．
直线AB交椭圆于（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$）两点，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=3-$\frac{1}{4}$≠0，不合题意．
②若直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$）．
由代入椭圆方程可得，（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0．
由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
即有y₁y₂=k²（x₁-$\sqrt{3}$）（x₂-$\sqrt{3}$）=k²[x₁x₂-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+3]=-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{11{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即$\frac{11{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=0，可得k²=$\frac{4}{11}$，即k=±$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
所以直线l方程为y=±$\frac{2\sqrt{11}}{11}$（x-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查椭圆的相关知识，考查运算能力、分析问题解决问题的能力，属于较难题．