Question

已知函数f(x)=2lnx-x²，
（1）若方程f(x)+m=0在[，e]内两个不等的实根时，求实数m的取值范围；
（2）如果g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A(x₁，0)，B(x₂，0)，且0＜x₁＜x₂，求证：g′(px₁+qx₂)＜0， （其中p，q是正常数，p+q=1，p≤q）。

Answer 1

解：（1），
，
∴当x∈时，f′(x)＞0，f(x)在为增函数，
当x∈(1，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(1，e)为减函数，
∴当x=1时，f(x)有极大值，也为最大值，f(1)=-1，
又，，
∴，∴。
（2），
又f(x)-ax=0有两个不等的实根，则，
两式相减得，

∵p+q=1，p≤q ，∴2p≤1，
又，
∴，
要证，
只需证：，
只需证：，
令，只需证在（0，1）上恒成立，
又，
，
∴t＜1，故u′(t)＞0，所以u(t)在（0，1）上单调递增，则u(t)＜u(1)=0，
，
从而，从而原不等式得证。