Question

四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=

⑴在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径

⑵求四棱锥外接球的半径

 

Answer 1

答案：
解析：

⑴解： ∵PD=a，AD=a，PA= 　　    ∴PD2+DA2=PA2 　　　　　　　　　　　　    同理∴∠PDA=90° 　　　　　　  即PD⊥DA，PD⊥DC 　　　　　　  ∵AO∩DC=D 　　       ∴PD⊥平面ABCD 　　   设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S， 　　　　　　  连SA、SB、SC、SD、 SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R 　　　　　　　　      　　　　　　　　 　　　　　　　　   ∵ 　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　    ∴ 　　　　　　    ∴ 　　　　　　    ∴球的最大半径为（） ⑵解： 设PB的中点为E ∵在Rt△PDB中：EP=EB=ED 　　　　　　　　　　　　　　　　   在Rt△PAB中：EA=EP=EB 　　　　　　　　　　　　     　　 在Rt△PBC中：EP=EB=EC 　　　　　　　　　　　　      ∴EP=EB=EA=EC=ED 　　　　　　　　　　　　      ∴E为四棱锥外接球的球心 　　　　　　　　　　 则EP为外接球的半径 　　　　　　　　  ∵EP= 　　　　　　　　　　　　      ∴ 　　　　　　　　　　　　      ∴四棱锥外接球的半径为