Question

【题目】在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面是菱形且与底面垂直，，点是中点，点是上靠近点的三等分点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接交交于，连接，通过证明//，即可得证线面平行；

（2）以中点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，通过向量法即可求得二面角的余弦值.

（1）连接，交于点，连接.

因为，所以,

又因为，所以，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）过作于，

因为，所以是线段的中点.

因为平面平面，平面平面，

所以平面，连接，

因为是等边三角形，是线段的中点，所以.

所以 平面 .

如图，以为原点，，，所在直线

分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标，

不妨设，则，，，，，

由，得，

则的中点，

从而，.

设平面的法向量为，

则，即，

不妨取，得，即.

易知平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的余弦值为.