题目内容
已知α∈R且α＜0，设函数f（x）=ax2+x-3alnx．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，证明：f（x）≤2x-2．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，证明：f（x）≤2x-2．
分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，解出导函数的零点，由a＜0排除一个，然后由零点对定义域分段，根据不同区间段内导函数的符号判断原函数的单调区间；
（Ⅱ）把a=-1代入函数解析式，然后把要证的不等式作差后构造辅助函数，利用导函数求构造出的函数的最值，由函数最大值等于0证得不等式．
（Ⅱ）把a=-1代入函数解析式，然后把要证的不等式作差后构造辅助函数，利用导函数求构造出的函数的最值，由函数最大值等于0证得不等式．
解答：（I）解：由f（x）=ax2+x-3alnx，得f′(x)=2ax+1-
=
（x＞0）．
令f′（x）=0解得x1=
，x2=
（舍）．
列表如下：
故f（x）的单调递增区间为（0，
）、递减区间为（
，+∞）
（II）证明：f（x）的定义域为（0，+∞），a=-1时，f（x）=x-x2+3lnx
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx．
则g′(x)=-1-2x+
=-
．
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0．
所以，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
而g（1）=0，故当x＞0时，g（x）≤0．
即f（x）≤2x-2．
| 3a |
| x |
| 2ax2+x-3a |
| x |
令f′（x）=0解得x1=
-1-
| ||
| 4a |
-1+
| ||
| 4a |
列表如下：
| x | （0，x1） | x1 | （x1，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - |
| f（x） | 增函数 | 减函数 |
-1-
| ||
| 4a |
-1-
| ||
| 4a |
（II）证明：f（x）的定义域为（0，+∞），a=-1时，f（x）=x-x2+3lnx
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx．
则g′(x)=-1-2x+
| 3 |
| x |
| (x-1)(2x+3) |
| x |
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0．
所以，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
而g（1）=0，故当x＞0时，g（x）≤0．
即f（x）≤2x-2．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数构造法，考查了数学转化思想方法，是有一定难度题目．
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，
．
，且
，求λ的值．