Question

已知函数f（x）=cosx•

1+sinx 1-sinx

+sinx•

1+cosx 1-cosx

（1）当x∈(-

π

2

，0)时，化简f（x）的解析式；
（2）当x∈(

π

2

，π)时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据x∈(-

π

2

，0)，cosx＞0，sinx＜0，化简函数f（x）的解析式为

2

sin（x-

π

4

）．
（2）当x∈(

π

2

，π)时，化简函数f（x）的解析式为

2

cos（x+

π

4

），根据 x+

π

4

∈（

3π

4

，

5π

4

），求得-1≤cos（x+

π

4

）＜-

2

2

，从而求得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵当x∈(-

π

2

，0)时，cosx＞0，sinx＜0，
∴函数f（x）=cosx•

1+sinx 1-sinx

+sinx•

1+cosx 1-cosx

=

cosx

|cosx|

•(1+sinx)+

sinx

|sinx|

•(1+cosx)
=1+sinx-（1+cosx）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）．
（2）当x∈(

π

2

，π)时，函数f（x）=cosx•

1+sinx 1-sinx

+sinx•

1+cosx 1-cosx

=

cosx

|cosx|

•(1+sinx)+

sinx

|sinx|

•(1+cosx)
=-（1+sinx）+（1+cosx）=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

）．
 x+

π

4

∈（

3π

4

，

5π

4

），∴-1≤cos（x+

π

4

）＜-

2

2

，∴-

2

≤

2

cos（x+

π

4

）＜-1，
故函数f（x）的值域为[-

2

，-1 ）．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的定义域和值域，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．