Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=-a_n-1-2n+1（n≥2且n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=3，a_n=-a_n-1-2n+1（n≥2且n∈N^*），对n进行赋值，可求出a₂，a₃的值；
（2）直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；
（3）先求出数列{a_n}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．

解答：解：（1）∵a₁=3，a_n=-a_n-1-2n+1（n≥2，n∈N^*），
∴a₂=-a₁-4+1=-6，a₃=-a₂-6+1=1．
（2）∵

an+n

an-1+(n-1)

=

(-an-1-2n+1)+n

an-1+n-1

=

-an-1-n+1

an-1+n-1

=-1，
∴数列{a_n+n}是首项为a₁+1=4，公比为-1的等比数列．
∴a_n+n=4•（-1）^n-1，即a_n=4•（-1）^n-1-n，
∴{a_n}的通项公式为a_n=4•（-1）^n-1-n（n∈N^*）．
（3）∵{a_n}的通项公式为a_n=4•（-1）^n-1-n（n∈N^*），
所以S_n=

n

k-1

a_k=

n

k-1

[4•（-1）^k-1-k]=

n

k-1

[4•（-1）^k-1-

n

k-1

k
=4×

1-(-1)n

1-(-1)

-

n(n+1)

2

=2[1-（-1）ⁿ]-

1

2

（n²+n）
=-

n2+n-4

2

-2（-1）ⁿ．

点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．