Question

【题目】如果函数f（x）= （m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[ ,2]上单调递减，那么mn的最大值为（ ）
A.16
B.18
C.25
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵函数f（x）= （m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[ ,2]上单调递减，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[ ，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[ ，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（ ）≤0，f′（2）≤0即可．即

由（2）得m≤ （12﹣n），
∴mn≤ n（12﹣n）≤ =18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．
故选：B．
解法二：
∵函数f（x）= （m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[ ,2]上单调递减，
∴①m=2，n＜8
对称轴x=﹣ ，
② 即
③ 即
设 或 或

设y= ，y′= ，
当切点为（x0 ， y0），k取最大值．
①﹣ =﹣2．k=2x ，
∴y0=﹣2x0+12，y0= =2x0 ， 可得x0=3，y0=6，
∵x=3＞2
∴k的最大值为3×6=18
②﹣ =﹣ ，k= ，
y0= = ，
2y0+x0﹣18=0，
解得：x0=9，y0=
∵x0＜2
∴不符合题意．
③m=2，n=8，k=mn=16
综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，
故选：B
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．