Question

【题目】已知函数，其中且．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）证明：当时，函数在上为减函数；

（3）求函数的值域．

Answer 1

【答案】（1）为偶函数；（2）证明见解析；

（3）当时，值域为；当时，值域为.

【解析】试题分析：（1）先判断定义域是否关于原点对称，再验证还是；（2）按照单调性的定义进行证明即可；（3）令，由条件可得，

然后分和两种情况求函数的值域。

试题解析：

（1）要使函数有意义，需满足，

解得

∴ 函数的定义域为，

∵

∴函数为偶函数。

（2）由题意得,

设，且，则

∵

又 ， ，

∴，

∴

又

∴

∴

∴ 函数在上为减函数.

（3）令，则。

∵，

∴

当时， ，故函数的值域为，

当时， ，故函数的值域为。

综上可得当时，函数的值域为；当时，函数的值域为。