Question

【题目】已知、是椭圆上的两点，且，其中为椭圆的右焦点.

（1）求实数的取值范围；

（2）在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定点，使得为定值

【解析】

（1）讨论直线的斜率为0与不为0,斜率为0时，直接得到，斜率不为0时，设直线为，联立可得到，.即可得到，又等价于，代入即可解出实数的取值范围。

（2）假设存在点，使得为定值，令 由（1）的结果代入计算，得到为定值，即，解出即可得到答案。最后说明直线的斜率为0是也成立即可。

（1）由已知条件知：直线过椭圆右焦点.

当直线与轴重合时，.

当直线不与轴重合时，可设：，代入椭圆方程，并整理得.

设，，由根与系数的关系得，.

所以.又由得，所以，解之得.

综上，实数的取值范围是.

（2）设，则

为定值，所以，解得.

故存在定点，使得为定值.

（经检验，当与轴重合时也成立）