Question

已知三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且b2+c2-bc=a2；

c

b

=

1

2

+

3

．则tanB=

1

2

．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知的第一个等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得到B+C的度数，用B表示出C，再利用正弦定理化简第二个等式，把表示出的C代入，移项合并后利用同角三角函数间的基本关系化简，可求出tanB的值．

解答：解：∵b²+c²-bc=a²，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，又C为三角形的内角，
∴A=60°，即B+C=120°，
∴C=120°-B，
根据正弦定理得

sinC

sinB

=

sin(120°-B)

sinB

=

c

b

=

1+2 3

2

，
整理得：

3

cosB+sinB=2

3

sinB+sinB，
解得：2sinB=cosB，
则tanB=

1

2

．
故答案为：

1

2

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．