Question

函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，
（1）求ϕ的值．
（2）若f（x）图象上的点关于M（）对称，①求ω满足的关系式；②若f（x）在区间[0，]上是单调函数，求ω的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正弦函数的图象与性质，结合题意得sinϕ=±1，结合题设0≤ϕ≤π，解之可得ϕ=；
（2）由（1）可得f（x）=cosωx，由余弦曲线的对称中心的公式，建立关于ω的等式，算出，其中k=0，1，2，…．结合f（x）在区间[0，]上的单调性，即可解出或ω=2．
解答：解：（1）由f（x）是偶函数，可得f（0）=±1，
故sinϕ=±1，即ϕ=kπ+，
结合题设0≤ϕ≤π，解之得ϕ=，…（5分）
（2）由（1）知f（x）=sin=cosωx，
∵f（x）图象上的点关于M（）对称，
∴f（）=cos=0，故=
即．…（10分）
∵f（x）在区间[0，]上是单调函数，可得，即ω≤2
又∵．
∴综合以上条件，可得或ω=2．…（16分）
点评：本题给出函数f（x）=sin（ωx+ϕ）满足的条件，求参数的值，着重考查了三角函数的图象与性质、函数的奇偶性和图象的对称性等知识，属于中档题．