Question

已知F₁为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF₁⊥F₁A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

Answer 1

剖析：求椭圆的离心率，即求,只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF₁⊥F₁A,PO∥AB易得b=c,a=b.

解：设椭圆方程为+=1(a＞b＞0),F₁(-c,0),c²=a²-b²,

    则P(-c,b),即P(-c,).

    ∵AB∥PO,∴k_AB=k_OP,

    即-=∴b=c.

    又∵a==b,

    ∴e===.

讲评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.