Question

下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（　　）

• A、f（x）=lnx
• B、f（x）=2x+sinx
• C、f（x）=x+

  1

  x

• D、f（x）=e^x+e^-x

Answer 1

分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义，判断各个选项中的函数是否既是奇函数又在定义域上单调递增，从而得出结论．

解答：解：由于函数y=lnx的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故函数没有奇偶性，故排除A．
由于函数f（x）=2x+sinx 的定义域为R，且满足f（-x）=2（-x）+sin（-x）=-2x-sinx=-f（x），故f（x）为奇函数．
再根据f′（x）=2+cosx＞0，可得函数在定义域上单调递增，故满足条件．
由于函数f（x）=x+

1

x

为奇函数，在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故不满足条件，故排除C．
由于函数f（x）=e^x+e^-x 满足f（-x）=e^-x+e^x=f（x），故函数是偶函数，故排除D．
故选：B．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断、证明，属于中档题．