Question

（2012•葫芦岛模拟）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且

a2b+c2b-b3

a2c+b2c-c3

=-

sinB

2sinA+sinC

．
（Ⅰ）求角B的值； 
（Ⅱ）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由余弦定理得：a²+c²-b²=2accosB，a²+b²-c²=2abcosC，由题设得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，求得 cosB=-

1

2

，故 B=

2

3

π．
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，由此求得ac=3，代入三角形面积公式 S=

1

2

acsinB，运算求得结果．

解答：解：（1）△ABC中，由余弦定理得：a²+c²-b²=2accosB，a²+b²-c²=2abcosC，
∴

a2b+c2b-b 3

a2c+b 2c-c 3

=

b(a2+c2-b 2)

c(a 2+b 2-c 2)

=

b•2accosB

c•2abcosC

=

cosB

cosC

． …（3分）
∴由题设得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，∴2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC，
∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴cosB=-

1

2

，故 B=

2

3

π．…（6分）
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴b²=（a+c）²-2ac-2accos

2

3

π=（a+c）²-ac
∴13=16-ac，∴ac=3，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，诱导公式以及根据三角函数的值求角，属于中档题．