Question

函数f（x）=mx²-2x+1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：当m=0时，令f（x）=-2x+1=0，求得x=，满足条件．
当m≠0时，函数f（x）=mx²-2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），由f（x）有且仅有一个正实数的零点，
则得 ①对称轴x=＞0，且判别式△=4-4m=0，求得m=1．
或者②对称轴x=＜0，解得 m＜0．

综上可得，实数m的取值范围{m|m=1，或m＜}．
分析：当m=0时，满足条件．当m≠0时，函数f（x）=mx²-2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），则得 ①对称轴x=＞0，且判别式△=4-4m=0；
或者②对称轴x=＜0．分别求得m的范围，再取并集，即可得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．