Question

18．已知函数f（x）=4x²-4mx+m²-2m+2（m∈R）在区间[0，2]上的最小值是5，求m的值．

Answer 1

分析 对m分类讨论，求出f（x）在区间[0，2]上的最小值，使其等于5，解方程即可得到m的值．

解答 解：函数f（x）=4x²-4mx+m²-2m+2
=4（x-$\frac{m}{2}$）²+2-2m，对称轴为x=$\frac{m}{2}$，
①当m＜0时，f（x）在区间[0，2]上单调递增，
f（x）_min=f（0）=m²-2m+2=5．
解得m=3（舍去）或m=-1；
②当0≤m≤4时，f（x）_min=f（$\frac{m}{2}$）=2-2m=5，
解得m=-$\frac{3}{2}$（舍）；
③当m＞4时，f（x）在[0，2]上单调递减，
f（x）_min=f（2）=m²-10m+18=5．
解得m=5+2$\sqrt{3}$或5-2$\sqrt{3}$（舍去）．
综上，实数m的值是-1或5+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二次函数的单调性及二次函数在给定区间上的最值问题，考查分类讨论思想，属于中档题．