题目内容

已知函数f（x）=x+
2
x
，判断f（x）在（0，
2
）上的单调性并加以证明；
分析：单调性的证明要充分利用定义，格式步骤是①在单调区间上设x1＜x2，②作差f（x1）-f（x2）化简，③判断f（x1）-f（x2）的符号进而判断函数的单调性．
解答：解：函数f（x）=x+
2
x
在（0，
2
）上是单调减函数，
下面证明这个判断：
证明：任取x1，x2∈（0，
2
），且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=x1+
2
x1
-（x2+
2
x2
）=（x1-x2）+（
2
x1
-
2
x2
）=(x1-x2) •
x1x2 -2
x1x2

∵＜0x1＜x2＜
2
，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜2，∴x1x2-2＜0，∴(x1-x2) •
x1x2 -2
x1x2
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，
2
）上是减函数．
点评：本题考查了函数的单调性的判断，利用单调性的定义证明函数的单调性；对单调性定义的考查是高考以及各类考试的重点，要给予充足的重视．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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