Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，G分别是AA₁，D₁C，AD的中点．
求证：（1）MN∥平面ABCD；
（2）设α是过MN的任一平面，求证：α⊥平面B₁BG．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CD的中点E，连接NE，AE，可证得MNEA为平行四边形，从而有MN∥AE，利用线面平行的判定定理即可证得MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）由△BAG≌△ADE易证AE⊥BG，由B₁B⊥平面ABCD可得B₁B⊥AE，从而可证得AE⊥平面B₁BG，而MN∥AE，利用面面垂直的判定定理即可使结论得证．．

解答：解：（Ⅰ）取CD的中点E，连接NE，AE，…1′

N为CD1的中点 E为CD的中点

⇒NE∥MA且NE=MA…2′
∴MNEA为平行四边形，…3′
∴MN∥AE，…4′

MN∥AE 又MN?平面ABCD AE?平面ABCD

⇒MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）在正方形ABCD中，易证△BAG≌△ADE…7′
∴∠DAE+∠AGB=∠ABG+∠AGB=90°…8′
∴AE⊥BG…9′
又

BB1平面ABCD AE?平面ABCD

⇒B₁B⊥AE…10′

AE⊥BG B1B⊥AE BG∩B1B=B

⇒AE⊥平面B₁BG…12′
又MN∥AE，
∴MN⊥平面B₁BG，又MN?α，
∴α⊥平面B₁BG…13′

点评：本题考查直线与平面平行与垂直，掌握直线与平面平行与垂直的判定定理是解决问题的关键，考查学生分析与推理的能力，属于中档题．