Question

（理科）已知直线l的方向向量为（-1，0，1），平面α的法向量为（2，-2，1），那么直线l与平面α所成角的大小为

arcsin

2

6

．（用反三角表示）

Answer 1

分析：直接利用直线与平面所成的角的向量计算公式（cos＜

m

，

n

＞=

m  • n

| m || n |

，其中

m

为直线的方向向量，

n

为平面α的法向量）求出＜

m

，

n

＞，再根据cos＜

m

，

n

＞的正负即可求出直线l与平面α所成的角．

解答：解：设直线l的方向向量为

m

=（-1，0，1），平面α的法向量为

n

=（2，-2，1）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m  • n

| m || n |

=

(-1，0，1)•(2，-2，1)

2 × 9

=-

2

6

＜0
∴直线l与平面α所成角β=＜

m

，

n

＞-

π

2

∴sinβ=-cos＜

m

，

n

＞=

2

6

∴β=arcsin

2

6

即直线l与平面α所成角arcsin

2

6

故答案为arcsin

2

6

点评：本题主要考查了利用空间向量求直线与平面的夹角．解题的关键是要要熟记直线与平面所成的角的向量计算公式（cos＜

m

，

n

＞=

m  • n

| m || n |

，其中

m

为直线的方向向量，

n

为平面α的法向量）但要注意的是直线与平面所成的角与cos＜

m

，

n

＞的正负有关（若cos＜

m

，

n

＞＞0则直线与平面所成的角为

π

2

-＜

m

，

n

＞，若cos＜

m

，

n

＞＜0则直线与平面所成的角为＜

m

，

n

＞-

π

2

！