Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是菱形，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）通过菱形的性质证得，通过等腰三角形的性质证得，由此证得平面，从而证得平面平面.

（2）方法一通过几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）证明：记，连接．

因为底面是菱形，

所以，是的中点．

因为，所以．

因为，

所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）因为底面是菱形，，，

所以是等边三角形，即．

因为，所以．

又，，所以，

即．

方法一：因为是的中点，所以，

因为，所以，

所以和都是等腰三角形．

取中点，连接，则，且，

所以是二面角的平面角．

因为，且，

所以．

因为，

，

所以．

所以二面角的余弦值为．

方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，．

设平面的法向量为

由，得，

令，得.

同理，可求平面的法向量．

所以

．

所以，二面角的余弦值为．