Question

过抛物线y²=5x的焦点F作直线m，交该抛物线于A，B 两点，线段AB的中点为M，则点M到y轴的最近距离为

5

4

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得所求距离d=

x1+x2+ 5 4

2

-

5

4

=

|AB|

2

-

5

4

，由通径的性质可得结果．

解答：解：由抛物线的方程为y²=5x，可得2p=5，

p

2

=

5

4

，
故焦点F的坐标为（

5

4

，0），准线方程为：x=-

5

4

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则A，B 两点到准线的距离之和为x1+x2+

5

2

，
故线段AB的中点M到准线的距离之和为

x1+x2+ 5 4

2

因此M到y轴的距离为d=

x1+x2+ 5 4

2

-

5

4

，
由抛物线的定义可知A，B 两点到准线的距离之和
等于A，B 两点到焦点的距离之和，即x1+x2+

5

2

=|AB|，
故d=

|AB|

2

-

5

4

，又知当直线m⊥x轴时，|AB|取最小值2p=5
故可得d=

|AB|

2

-

5

4

≥

5

2

-

5

4

=

5

4

故答案为：

5

4

点评：本题考查抛物线的简单性质，涉及抛物线的定义和通径最短的性质，属中档题．