Question

函数f（x）=sin³x+cos³x，x∈[0，

π

2

]的值域为

 

．

Answer 1

分析：令sinx+cosx=t，则t=

2

sin(x+

π

4

)，sinxcosx=

t2-1

2

．由于x∈[0，

π

2

]，可得sin(x+

π

4

)∈[

2

2

，1]，t∈[1，

2

]．于是f（x）=（sinx+cosx）（sin²x+cos²x-sinxcosx）=t(1-

t2-1

2

)=-

1

2

t3+

3

2

t=g（t）．利用导数研究其单调性即可．

解答：解：令sinx+cosx=t，则t=

2

sin(x+

π

4

)，sinxcosx=

t2-1

2

．
∵x∈[0，

π

2

]，∴sin(x+

π

4

)∈[

2

2

，1]，∴t∈[1，

2

]．
∴f（x）=（sinx+cosx）（sin²x+cos²x-sinxcosx）=t(1-

t2-1

2

)=-

1

2

t3+

3

2

t=g（t）．
∵g′(t)=-

3

2

t2+

3

2

=-

3

2

(t+1)(t-1)，又t∈[1，

2

]．
∴g′（t）≤0，∴g（t）在t∈[1，

2

]单调递减．
∵g（1）=1，g(

2

)=

2

2

．
∴函数g（t）即函数f（x）的值域为[

2

2

，1]．
故答案为：[

2

2

，1]．

点评：本题考查了三角函数的基本关系式、利用导数研究函数的单调性值域、换元法等基础知识与基本技能方法，属于难题．