Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若sin2

B+C

2

+cos2A=

1

4

，且∠A为锐角．
（Ⅰ）求∠A的度数；
（Ⅱ）若a=

3

，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）在△ABC中，B+C=π-A，cos（B+C）=-cosA，
∴sin2

B+C

2

+cos2A=

1

2

[1-cos（B+C）]+2cos²A-1=2cos²A+

1

2

cosA-

1

2

=

1

4

，
∴8cos²A+2cosA-3=0，
∴cosA=

1

2

或cosA=-

3

4

，
∵∠A为锐角，
∴cosA=

1

2

，A=60°…7分
（2）由余弦定理：a²=b²+c²-2bccos60°=3，
∴（b+c）²-3bc=3，
又b+c=3，
∴bc=2．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

…14分