Question

（本小题满分12分）

已知函数,,设．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）是否存在实数m,使得函数的图像与函数的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) 的单调递减区间为，单调递增区间为。

(2)

(3) 当时，的图象与的图象恰有四个不同的交点

【解析】

试题分析：解：（I），

∵，由，∴在上单调递增。

由，∴在上单调递减。

∴的单调递减区间为，单调递增区间为。

（II），

恒成立

当时，取得最大值。

∴，∴

（III）若的图象与的图象恰有四个不同得交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。

令，

则

当x变化时，、的变化情况如下表：

x
的符号	＋	－	＋	－
的单调性

由表格知：，

画出草图和验证可知，当时，与恰有四个不同的交点。

∴当时，的图象与的图象恰有四个不同的交点。

考点：导数与函数，函数与方程的综合运用

点评：解决该试题的关键是能结合导数的符号判定函数单调性，以及函数的最值，进而得到求解。同时对于方程根的问题，转换为图像与x轴的交点个数来处理，属于中档题。