Question

如图所示，在多面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，BA⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC＝1，AB＝ED＝EF＝2，AD＝DG＝4.
 
(1)求证：BE⊥平面DEFG；
(2)求证：BF∥平面ACGD；
(3)求二面角F－BC－A的余弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）

(1)证明：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，∴四边形ADEB为平行四边形，∴BE∥AD.
∵AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面DEFG.
(2)证明：设DG的中点为M，联结AM，MF，则DM＝DG＝2，

∵EF＝2，EF∥DG，∴四边形DEFM是平行四边形，
∴MF＝DE且MF∥DE，由(1)知，四边形ADEB为平行四边形，∴AB＝DE且AB∥DE，∴AB＝MF且AB∥MF，
∴四边形ABFM是平行四边形，
即BF∥AM，又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.

(3)由已知，AD，DE，DG两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，4)，B(2，0，4)，C(0，1，4)，F(2，2，0)，
故＝(0，2，－4)，＝(－2，1，0)．
设平面FBC的法向量为n₁＝(x，y，z)，则
令z＝1，则n₁＝(1，2，1)，
而平面ABC的法向量可为n₂＝＝(0，0，4)，
则cos〈n₁，n₂〉＝，
由图形可知，二面角F－BC－A的余弦值为－