题目内容
f（x）是定义在（-1，1）上的函数，对于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(
)成立，且当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，给出下列命题：
①f（0）=0；
②函数f（x）是偶函数；
③函数f（x）只有一个零点；
④f（
）+f（
）＜f（
），
其中正确命题的个数是（ ）
| x-y |
| 1-xy |
①f（0）=0；
②函数f（x）是偶函数；
③函数f（x）只有一个零点；
④f（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
其中正确命题的个数是（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
分析：①，令x=y=0，即可求得f（0）=0；
②先令y=-x得f（x）-f（-x）=f（
）（1），再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（
）（2），二者联立，即可判断函数f（x）的奇偶性；
③由①中f（0）=0，②函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，及已知“当x∈（-1，0）时，f（x）＞0”即可判断③之正误；
④依题意，作差f（
）-f（
）=f（-
）＞0，可知f（
）＞f（
），同理可知f（
）＞f（
），于是可知④之正误．
②先令y=-x得f（x）-f（-x）=f（
| 2x |
| 1+x2 |
| -2x |
| 1+x2 |
③由①中f（0）=0，②函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，及已知“当x∈（-1，0）时，f（x）＞0”即可判断③之正误；
④依题意，作差f（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
解答：解：对于①，∵对于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(
)成立，
∴令x=y=0，得f（0）-f（0）=f（0）=0，故①正确；
对于②，令y=-x得：f（x）-f（-x）=f（
）（1），
再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（
）（2），
（1）+（2）得：f（
）+f（
）=0，
∴f（
）=-f（
），
∴定义在（-1，1）上的函数f（x）为奇函数，故②错误；
对于③，∵函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，且当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，
∴当x∈（0，1）时，f（x）＜0，又f（0）=0，
∴函数f（x）在（-1，1）上只有一个零点，故③正确；
对于④，∵当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，
∴f（
）-f（
）=f（
）=f（-
）＞0，
∴f（
）＞f（
）；
同理可得，f（
）＞f（
），
∴f（
）+f（
）＜f（
），即④正确；
综上所述，正确命题的个数是3个，
故选：C．
| x-y |
| 1-xy |
∴令x=y=0，得f（0）-f（0）=f（0）=0，故①正确；
对于②，令y=-x得：f（x）-f（-x）=f（
| 2x |
| 1+x2 |
再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（
| -2x |
| 1+x2 |
（1）+（2）得：f（
| 2x |
| 1+x2 |
| -2x |
| 1+x2 |
∴f（
| -2x |
| 1+x2 |
| 2x |
| 1+x2 |
∴定义在（-1，1）上的函数f（x）为奇函数，故②错误；
对于③，∵函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，且当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，
∴当x∈（0，1）时，f（x）＜0，又f（0）=0，
∴函数f（x）在（-1，1）上只有一个零点，故③正确；
对于④，∵当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，
∴f（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||||
1-
|
| 1 |
| 5 |
∴f（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
同理可得，f（
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
∴f（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
综上所述，正确命题的个数是3个，
故选：C．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用，判断函数f（x）的奇偶性是难点，也是解决问题的关键，考查转化思想与创新思维能力，属于难题．
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