Question

（2012•房山区二模）已知函数f（x）=x³-（1+b）x²+bx，b∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，求b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在区间[0，3]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，得f′（1）=-1，解出即得b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出f（x），f′（x），解方程f′（x）=0，在区间[0，3]上，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，由表可求得函数的最值；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2（1+b）x+b，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，
∴f′（1）=3-2（1+b）+b=-1，解得b=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-3x²+2x，f′（x）=3x²-6x+2，
令f′（x）=3x²-6x+2=0，解得x1=1-

3

3

，x2=1+

3

3

．
在区间[0，3]上，x，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	0	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	递增	2 3 9	递减	- 2 3 9	递增	6

所以当x=3时，f（x）_max=6；当x=1+

3

3

时，f（x）_min=-

2 3

9

．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求闭区间上函数的最值，考查学生的运算能力，解决本题的关键是准确求导，正确理解导数的几何意义．