Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点D、E分别在边BC、B₁C₁上，CD=B₁E=AC，∠ACD=60°．求证：
（1）BE∥平面AC₁D；
（2）平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

证明：∵三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴BC∥B₁C₁，
∵点D、E分别在边BC、B₁C₁上，CD=B₁E，
∴BD=C₁E，BD∥C₁E，
∴四边形BDC₁E是平行四边形，
∴BE∥C₁D，
又C₁D平面AC₁D，BE平面AC₁D，
∴BE∥平面AC₁D；
（2）由三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中是直三棱柱
得，CC₁⊥平面ABC，
∵AD平面ABC，
∴AD⊥CC₁，①
在△ACD中，CD= AC，∠ACD=60°，
由余弦定理得：AD= = AC，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°即AD⊥BC，②
∵BC平面BCC₁B₁，CC₁平面BCC₁B₁，BC∩CC₁=C，③
∴由①②③得：AD⊥平面BCC₁B₁．
∵AD平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．