Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．
（1）证明：∠PBC=90°；
（2）若PB=3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD中点O，连OP、OB，证明AD⊥平面POB，利用BC∥AD，可得BC⊥平面POB，从而可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
解答：（1）证明：取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又OP∩OB=O，∴AD⊥平面POB，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，
∵PB?平面POB，∴BC⊥PB，即∠PBC=90°．
（2）解：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），
由PO=BO=，PB=3，得∠POB=120°，∴∠POz=30°，∴P（0，-，），
则=（-1，，0），=（-1，0，0），=（0，，-），
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取z=，则=（0，1，），
设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．
点评：本题考查直线与平面垂直，考查线面角，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题．