Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）判断并证明的单调性；

（Ⅱ）若不等式，对恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，在上是增函数;当时， 在上是减函数，在上是增函数. 证明见解析. （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）,分和两种情况进行讨论可得出答案.
（Ⅱ）根据图象可得，当时，不等式不是恒成立的,讨论的情况满足，当时，在处取得最小值,所以，即可得出答案.

（Ⅰ）

当时，，在上是增函数;

当时，令，解得

所以当时，，在上是增函数;

当时，，在上是减函数;

综上所述：当时，在上是增函数;

当时， 在上是减函数，在上是增函数.

（Ⅱ）不等式，对恒成立，即在上恒成立.

由（Ⅰ）可知，当时，函数，的图象如图.

根据图象可得，当时，不等式不是恒成立的.

当时, 不等式是恒成立的.

当时，由（Ⅰ）可知，在处取得最小值.

即，所以，则

综上所述：的取值范围是：.