题目内容
已知a，b，c∈R，则下列推理其中正确的个数是（ ）
①
＞
⇒a＞b ②a3＞b3，ab＞0⇒
＜
③a2＞b2，ab＞0⇒
＜
④0＜a＜b＜1⇒loga(1+a)＞logb
．
①
| a |
| c2 |
| b |
| c2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
③a2＞b2，ab＞0⇒
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| 1-a |
分析：利用不等式的基本性质和对数函数的单调性即可判断．
解答：解：①∵
＞
，∴
×c2＞
×c2，∴a＞b，故正确；
②∵a3＞b3，∴a＞b，又ab＞0，∴
＞
，即
＞
，故正确；
③取a=-3，b=-2，满足（-3）2＞（-2）2，-3×（-2）＞0，但是
＞
，故③不正确；
④∵0＜a＜b＜1，∴0＞lgb＞lga，lg（1-a2）＜0，lgalgb＞0，lg（1-a）＞0，
∴loga（1+a）-logb
=
＞
=
＞0，
∴loga(1+a)＞logb
，故正确．
综上可知：只有①②④正确．
故选C．
| a |
| c2 |
| b |
| c2 |
| a |
| c2 |
| b |
| c2 |
②∵a3＞b3，∴a＞b，又ab＞0，∴
| a |
| ab |
| b |
| ab |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
③取a=-3，b=-2，满足（-3）2＞（-2）2，-3×（-2）＞0，但是
| 1 |
| -3 |
| 1 |
| -2 |
④∵0＜a＜b＜1，∴0＞lgb＞lga，lg（1-a2）＜0，lgalgb＞0，lg（1-a）＞0，
∴loga（1+a）-logb
| 1 |
| 1-a |
| lg(1+a)lgb+lg(1-a)lga |
| lgalgb |
| lg(1+a)lga+lg(1-a)lga |
| lgalgb |
| lg(1-a2) |
| lgb |
∴loga(1+a)＞logb
| 1 |
| 1-a |
综上可知：只有①②④正确．
故选C．
点评：熟练掌握不等式的基本性质和对数函数的单调性是解题的关键．
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