Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

cosA-2cosC

a2+c2-b2

=

1

ab

-

1

2bc

（Ⅰ）求

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）若cosB=

1

4

，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA与cosC，代入已知等式中化简，整理后得到c=2a，利用正弦定理即可求出所求式子的值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将cosB及b的值代入，再将c=2a代入得到求出a的值，进而求出c的值，再由cosB的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积S．

解答：解：（Ⅰ）∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴

cosA-2cosC

a2+c2-b2

=

b2+c2-a2 2bc - a2+b2-c2 ab

a2+c2-b2

=

1

ab

-

1

2bc

，
变形得：a（b²+c²-a²）-2c（a²+b²-c²）=（2c-a）（a²+c²-b²），即2ac²=4a²c，
∴c=2a，
利用正弦定理得：sinC=2sinA，即

sinC

sinA

=2；
（Ⅱ）∵cosB=

1

4

，b=2，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB及c=2a得：4=a²+4a²-4a²×

1

4

，即a²=1，
∴a=1，c=2，
又sinB=

1-cos2B

=

15

4

，
则△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

15

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．