Question

【题目】已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上.

（1）求抛物线的方程；

（2）若轴上存在一点，使线段经过点时，以为直径的圆经过原点，求的值；

（3）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）最小值为16.

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；
（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m的值；
（3）设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，则有， ，所以， ， ，由，即，进而化简求出，得： ， ，即可求得△ABD面积的最小值．

试题解析：

（1）设抛物线的方程为，抛物线的焦点为，则，所以，

则抛物线的方程为.

（2）设直线的方程为，要使以为直径的圆经过原点，则只需即可，

联立方程 ，则， ，

，

解得： .

（3）如图所示，

设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，

则有， ，所以， ， ，

又因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以，

即，将代入得：

进而化简求出，得： ，

则，可以先求的最小值即可，

，令，

则

，

所以可以得出当即时， 最小值为，此时，

即当， ， 时， 为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.