Question

已知椭圆（a＞b＞0），离心率为的椭圆经过点（，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l₁，l₂分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e==，经过点（，1）即+=1可求得a²，b²；
（2）设出直线AB，CD的方程与椭圆方程联立，求得相应弦长，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可Q求得λ，从而问题得到解决．
解答：解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，经过点（，1），
∴e==?==①，+=1②，
由①②解得a²=8，b²=4，
∴该椭圆的标准方程为：+=1；
（2）∵椭圆+=1的左焦点F₁（-2，0）；
设过其左焦点F₁的直线AB的方程为：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程组 得（2+1）x²+8x+8-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁•x₂=
由弦长公式得|AB|=•=，
同理设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），|CD|=•=，，
由（1）k₁•k₂=-1得k₂=-，代入得|CD|=，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==+==，则存在λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
点评：本题重点考查直线与圆锥曲线的综合，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用弦长公式，综合性强，属于难题．