Question

公差大于零的等差数列{a_n}的前项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

Sn

n+c

，且数列{b_n}是等差数列，求非零常数的值；
（3）在（2）的条件下，求f(n)=

bn

(n+36)bn+1

(n∈N*)的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式，由a₃•a₄=117，a₂+a₅=22即可求得首项与公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由a_n=4n-3可求得S_n=n（2n-1），从而得b_n=

n(2n-1)

2(n+c)

，再利用{b_n}是等差数列由2b₂=b₁+b₃，即可求得c的值；
（3）由（2）求得b_n=2n，于是f（n）=

1

n+ 36 n +37

，利用基本不等式即可求得f（n）_max．

解答：解：（1）由题知a₃+a₄=a₂+a₅=22，a₃•a₄=117，
所以，a₃=9，a₄=13或a₃=13，a₄=9，
所以公差d=±4，又因为d＞0，
所以d=4，因此a_n=4n-3（4分）
（2）∵S_n=

n(1+4n-3)

2

=n（2n-1），
所以bn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，
由{b_n}是等差数列得，2b₂=b₁+b₃，
∴

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，整理得：2c²+c=0，
∴c=-

1

2

，（其中c=0舍去）（8分）
（3）由（2）知b_n=2n，
∴f（n）=

2n

(n+36)(2n+2)

=

n

(n+36)(n+1)

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

12+37

=

1

49

．
当且仅当n=

36

n

，即n=6时取得等号．即f（n）_max=

1

49

．

点评：本题考查数列与函数的综合，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查基本不等式求最值，属于综合性强的难题．