Question

【题目】已知椭圆：1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的右顶点与下顶点为直径端点的圆的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，动直线与椭圆交于轴同一侧的两点，且满足，试问直线是否过定点，若过定点，求出此定点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）不存在，见解析

【解析】

(1)由题意可求得圆的半径为，由面积公式,可解得,由,可得,由即可求出椭圆方程;

(2) 所以设的方程：,联立直线方程和椭圆方程,得到根与系数的关系,利用得,即可求出所得,验证是否符合条件即可.

（1）由题意得：椭圆的右顶点为，下顶点，所以椭圆的右顶点与下顶点为直径端点的圆的半径为，所以，即：；，即，而所以

所以椭圆C的标准方程为：1；

（2）由题意得直线的斜率存在且不为零，

所以设的方程：，

代入椭圆方程整理得： ,，

因为得，

而， ，

所以即：，

所以，

所以，所以直线，与椭圆联立，时，，与椭圆相切，过上顶点与时，斜率为，所以在轴同一侧时斜率在，而这时不满足，所以不存在符合题意条件的定点．