Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求三棱锥E-ADF的体积；
（2）求异面直线EF与BC所成的角．

Answer 1

（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，E为线段DD₁的中点．


∴DE⊥平面ADF，且DE=1为三棱锥E-ADF的高
∵F是BD的中点
∴△ADF的面积S=

1

2

S_△ABD=

1

4

S_ABCD=1
因此，三棱锥E-ADF的体积为V=

1

3

×S_△ADF×DE=

1

3

×1×1=

1

3

（2）连接BC₁、BD₁
∵EF是△BDD₁的中位线，
∴EF∥BD₁，可得∠CBD₁（或其补角）就是异面直线EF与BC所成的角．
∵BC⊥平面C₁D₁DC，CD₁?平面C₁D₁DC，
∴Rt△BCD₁中，tan∠CBD₁=

CD1

BC

=

2 2

2

=

2

可得∠CBD₁=arctan

2

（锐角）
因此，异面直线EF与BC所成的角等于arctan

2

．