Question

已知直线l：y=x+，圆O：x²+y²=5，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=．直线l截圆O所得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线．若切线都存在斜率，求证这两条切线互相垂直．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求直线l圆O截得的弦长，进而可得椭圆的短轴长，利用椭圆的离心率e=，即可确定椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点P的椭圆的切线方程，代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，利用判别式为0得方程，利用韦达定理，及点P在圆O上，即可计算得两条切线的斜率的积，从而可得结论．
解答：（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，圆心O到l的距离为
∴直线l圆O截得的弦长
∵直线l圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等
∴
∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=．
∴
∴a²=3
∴椭圆E的方程为+=1；
（Ⅱ）证明：设P（x，y），过点P的椭圆的切线方程为y-y=k（x-x），即y=kx+y-kx，
代入椭圆方程，消去y可得：（3+2k²）x²+4k（y-kx）x+2（y-kx）²-6=0
∴△=[4k（y-kx）]²-4（3+2k²）[2（y-kx）²-6]=0
即（）k²+2kxy-（）=0
∴两条切线的斜率的积为-
∵点P在圆O上，∴，∴-=-=-1
∴两条切线的斜率的积为-1
∴两条切线互相垂直．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，计算斜率是关键．